Weibull: ajuste por regressão linear

1. Preliminares

Conforme descrito no post “Weibull: uma função flexível” (clique aqui para acessá-lo), existem vários métodos de ajuste da função. Neste post, vamos utilizar a Regressão Linear para encontrar as estimativas dos parâmetros β e ϒ da função densidade acumulada (f.d.a.) com 3 parâmetros, sendo o parâmetro alfa (α) igual ao limite inferior da menor classe de diâmetro.

A função será ajustada a dois tipos de distribuição de diâmetros: 1) tipo "J-invertido", no caso de florestas inequiâneas; e 2) distribuição tendendo à distribuição normal, no caso de florestas equiâneas.

Exemplo 1: Ajuste da função Weibull a uma distribuição “J-invertido”.

Sejam os seguintes dados de distribuição diamétrica de uma floresta inequiânea:

Observa-se, na figura a seguir, que o número de árvores por hectare decresce com o aumento da classe diamétrica, sugerindo uma distribuição exponencial ou aproximada.

Para ajustar a função Weibull considerando o parâmetro alfa (α) igual ao limite inferior da menor classe de diâmetro (neste exemplo, igual a 10cm) e, consequentemente, estimar o número de árvores por hectare em cada classe diamétrica, elaborou-se o seguinte quadro auxiliar:

As probabilidades (Prob_i) foram obtidas de acordo com a seguinte expressão:

em que: N_i = número de árvores por hectare na i-ésima classe de dap; N = número total de árvores observado.

Com os pares de dados de Ln(dap-10) e Y (sem a última classe), ajustou-se o modelo genérico de regressão linear, utilizando o método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Como resultado, tem-se:

Os parâmetros β e ϒ da função Weibull foram assim obtidos:

Desta forma, a função acumulada ficou assim definida:

Substituindo os limites superiores das classes diamétricas (x) na expressão anterior, foram obtidas as seguintes probabilidades acumuladas estimadas e, consequentemente, os respectivos números de árvores estimados por hectare:

O número estimado de árvores por hectare em cada classe de diâmetro foi obtido pela seguinte expressão:

em que: F(X_i) e F(x_i-1) são as probabilidades acumuladas; F(x_i-1) = 0 para a primeira classe diamétrica; N = número total de árvores observadas = 519.

Exemplo:

Classe = 15 cm

             N/ha = (0,7831 – 0) . 519 = 406 árvores/ha

Classe = 25 cm

            N/ha = (0,8993 – 0,7831) . 519 = 60 árvores/ha

Verifica-se, na figura abaixo, que a distribuição diamétrica estimada pela função ajustada segue a mesma tendência da distribuição dos dados observados. No entanto, para saber se existe diferença ou não estatistica entre a distribuição observada e estimada, deve-se aplicar um teste de aderência não paramétrico, como o teste Qui quadrado (veja detalhes no post sobre o este teste – clique aqui).

Exemplo 2: Ajuste da função Weibull a uma distribuição tendendo à distribuição normal.

Sejam os dados de distribuição diamétrica de uma floresta equiânea, obtidos em uma parcela de 480 m² de área.

Observa-se, na figura abaixo, que a distribuição diamétrica observada tende à uma distribuição normal.

Para ajustar a função Weibull considerando o parâmetro alfa (α) igual ao limite inferior da menor classe de diâmetro (neste exemplo, igual a 5cm) e, consequentemente, estimar o número de árvores por hectare em cada classe diamétrica, elaborou-se o seguinte quadro auxiliar, seguindo os mesmos procedimentos descritos no exemplo 1.

Com os pares de dados de ln(dap-5) e Y (sem a última classe), ajustou-se o modelo de regressão linear simples, utilizando o método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Como resultado, obteve-se:

Os parâmetros β e ϒ da função Weibull foram assim obtidos:

Desta forma, a função Weibull ficou assim definida:

Substituindo os limites superiores das classes diamétricas (x) na expressão anterior, e seguindo a sequência de passos no exemplo anterior, foram obtidas as seguintes probabilidades acumuladas estimadas e, consequentemente, os respectivos números de árvores estimados:

Verifica-se, na figura a seguir, que a distribuição diamétrica estimada pela função ajustada segue a mesma tendência da distribuição dos dados observados, demonsrtando a flexibilidade da função Weibull em descrever distribuições de diferentes formas.