Teste t para amostras independentes

Sejam duas variáveis aleatórias X e Y, normalmente distribuídas [~N(μ,σ²)]. Se o objetivo é comparar a média dos valores destas variáveis, pode-se utilizar o teste “t” de Student para esta finalidade.

No caso de populações independentes, há necessidade de verificar se as variâncias de X e Y são homogêneas (variância comum) ou não, pela aplicação à priori do teste F, conforme post neste site.

Assim sendo, no caso do teste “t” para amostras independentes e com variância comum, a estatística do teste é dada por:

sendo:

Com graus de liberdade definidos para o teste igual a: n_x + n_y - 2.

Se as variâncias de X e Y são diferentes, então a estatística do teste é:

Com os graus de liberdade do teste definidos por:

Exemplo

Dois viveiros produzem mudas para uma indústria florestal e esta quer padronizar o processo de produção das mudas que chegam ao campo. Assim, deseja-se saber se, em média, as mudas dos dois viveiros possuem mesmo tamanho (a 5% de significância) e, consequentemente, se a variabilidade das alturas das mudas são iguais ou não (uniformidade) nos dois viveiros.

De cada viveiro, foi retirada aleatoriamente uma amostra de 10 mudas, cujas alturas (em centímetros) são:

As estimativas das médias e das variâncias das alturas das mudas dos dois viveiros, são:

1) Teste F:

 As hipóteses a serem testadas no teste F, com base nas variâncias amostrais, são:

 A estimativa da estatística do teste F, será:

O valor tabelado de F(5%; 9 e 9 graus de liberdade) conforme tabela abaixo é: 3,18.

Como F_calculado > F_tabelado, então: Rejeita-se a hipótese H_o (ver figura abaixo), isto é, a variância das alturas das mudas do viveiro 1 é maior do que a do viveiro 2, a 5% de significância, pelo teste F.

Neste caso, não há uma variância comum e o teste “t” para as médias deve ser realizado com as variâncias independentes.

2) Teste “t”

As hipóteses a serem testadas no teste “t”, são:

Como as variâncias são independentes, a estatística do teste “t” será:

Os graus de liberdade do teste serão:

O valor tabelado de “t”, ao nível de 5% de significância e 13 graus de liberdade (ver tabela abaixo), é igual a 2,16.

Como t_calculado > t_tabelado então: Rejeita-se a hipótese H_o, ou seja, as médias das alturas das mudas dos viveiros diferem estatisticamente (ver figura baixo), a 5% de significância, pelo teste “t”.