Teste F de Graybill
Em muitas situações, deseja-se saber se as estimativas obtidas por uma equação (Y) são estatisticamente iguais aos valores observados (X) ou se as estimativas de uma determinada variável, obtidas por dois métodos de avaliação (X e Y), são estatisticamente iguais.
Assim sendo, ao plotar as estimativas X e Y em um gráfico de dispersão, pode-se obter o seguinte comportamento gráfico:
Se as estimativas de X e Y fossem exatamente iguais, os pontos na figura anterior estariam sobre a reta e os coeficientes da equação seriam: b0 = 0 e b1 = 1, definindo uma reta com 45º graus de inclinação passando pela origem.
Mas como existe uma variação natural não explicada, os pontos não estão sobre a reta e os coeficientes não são exatamente 0 e 1. No entanto, é possível testar conjuntamente se os coeficientes da equação são estatisticamente iguais a 0 e 1, o que significa que, aceitando-se esta hipótese, os valores de X e Y seriam estatisticamente iguais.
Isso se faz possível por meio do teste F de Graybill, cuja estatística é dada por:
E cujas hipóteses testadas, são:
Ho:. β0=0 e β1=1
Ha:. Não Ho
Tal que:
p = posto da matriz (X`X) = número de linhas da matriz = 2
σ2 = quadrado médio da regressão de Y em função de X.
Exemplo:
Para exemplificar o uso do teste F de Graybill, sejam as alturas de 6 árvores, obtidas com dois aparelhos diferentes (X e Y).
Os passos para a aplicação do teste F de Graybill, são:
1) Preparar o banco de dados para realizar os cálculos da estatística F, coforme mostrado abaixo:
2) Encontrar as estimativas de β0 e β1 referente ao modelo linear simples: Y = β0 + β1 X + ε. Para isso, utiliza-se o método dos mínimos quadrados ordinários, resolvendo-se o seguinte sistema de equações normais:
Tal que:
Para o exemplo em questão, tem-se:
Invertendo-se a matriz (X’X), tem-se que:
Multiplicando-se (X’X)-1 por X’Y, obtém-se as seguintes estimativas dos parâmetros do modelo linear:
3) Calcular a estimativa da estatística F(Ho):
Assim,
4) Comparar a estimativa de F(Ho) com o valor tabelado de F, a um determinado nível de significância e; p e n-2 graus de liberdade, para concluir sobre a hipótese Ho.
Para o exemplo em questão, o valor de F tabelado para α = 5%; 2 e 4 graus de liberdade é igual a 6,94 (ver tabela abaixo).
Desta forma, como F(Ho) < Ftabelado, então: Aceita-se a hipótese Ho, isto é, estatisticamente β0=0 e β1=1, pelo teste F Graybill, a 5% de significância. Assim, sendo, pode-se concluir que as estimativas de altura obtidas pelos dois instrumentos são estatisticamente iguais.