Teste de Chow

IGUALDADE DE EQUAÇÕES

Às vezes deseja-se saber se um conjunto de equações são idênticas, com a possibilidade de agrupar os dados e ajustar uma única equação para obter as estimativas de uma determinada variável dependente. Como exemplo, tem-se equações para estimar o volume ou a altura de árvores, entre outras.

Seja, por exemplo, a seguinte situação em que se tem o seguinte modelo linear:

cujas equações, ajustadas com dois conjuntos de dados independentes, considerando a mesma variável dependente (Y) e independente (X), são:

É possível verificar a igualdade das equações, ou seja, verificar se os coeficientes ajustados são iguais, possibilitando o uso de uma única equação, por meio do Teste de Chow (Gujarati e Porter, 2008), de acordo com a sequência de passos a seguir:

• Combinar as observações utilizadas no ajuste das duas equações (n₁+n₂) e ajustar uma equação com este total de observações, obtendo-se as estimativas dos parâmetros (β₀` + β₁`) e a soma do quadrado dos resíduos (SQRes₁), com n₁+n₂–p graus de liberdade, sendo p o número de parâmetros a serem estimados. Neste exemplo p=2.

• Obter as somas de quadrados dos resíduos para cada equação independentemente, isto é, (SQRes₂ e SQRes₃), com n₁-p e n₂-p graus de liberdade, respectivamente, e obter a soma de quadrado dos resíduos conjunta SQRes₄= SQRes₂ + SQRes₃, com n₁+n₂–2p graus de liberdade.

• Obter a diferença, entre as somas de quadrados dos resíduos nos itens anteriores, ou seja: SQRes₅= SQRes₁ - SQRes₄.

• Em seguida calcula-se a estatística F, dada por:

• , com p e n₁+n₂–2p graus de liberdade.

Regra de decisão: Se F_calculado > F_tabelado => rejeita-se H_o, isto é, rejeita-se a igualdade entre as estimativas dos parâmetros do modelo.

Exemplo: Sejam duas equações hipsométricas referentes ao modelo:

H_i= β₀ + β₁ . DAP_i + ε, ajustadas com 2 conjuntos de dados (n₁=22 e n₂=18). Será que uma única equação com todas as 40 observações seria tão precisa quanto as equações separadas?

Dados:

• Equação (com 22 observações):

As estimativas dos parâmetros, suas respectivas estatísticas, medidas de precisão da equação e análise de variância são apresentadas abaixo:

• Equação (com 18 observações):

As estimativas para a segunda equação, são:

• Equação (com 40 observações:

Unindo-se as duas bases de dados, ou seja, as alturas e diâmetros utilizados para o ajuste das equações separadamente, encontrou-se as seguintes estimativas:

Teste F:

Considerando as somas de quadrado dos resíduos obtidas nos ajustes anteriores e os respectivos número de parâmetros (p) e observações (n₁ e n₂), realizou-se o teste F, dado por:

SQRes₁= 152,92778

SQRes₄= SQRes₂ + SQRes₃

SQRes₄= 70,82795 + 71,49272 = 142,32067

SQRes₅= SQRes₁ - SQRes₄

SQRes₅= 152,92778 – 142,32067 = 10,60711

F(5%; 2 e 36gl) = 3,27

F_calculado < F_tabelado => Aceita-se H_o, pelo teste F, a 5% de significância, ou seja, que os β`s das equações são iguais estatisticamente. Com isso a equação conjunta (com 40 observações) pode ser utilizada para estimar a altura das árvores.

Referência Bibliográfica

GUJARATI, D. N.; PORTER, D.C. Basic econometrics. 5.ed. McGraw-Hill Education. 2008. 944p.