O modelo de Clutter

1. A origem do modelo

Seja o modelo de SCHUMACHER (1939):

em que: Ln = logaritmo neperiano ou natural; V = volume corrente por unidade de área; S = índice de local; I = idade corrente; B = área basal corrente; β₀ a β₃ = coeficientes do modelo.

E o seguinte modelo proposto para estimar a área basal:

em que: B_i = área basal inicial; α₀ a α₄ = coeficientes do modelo.

Diferenciando a expressão 1 em função da idade, obtém-se:

Diferenciando a expressão 2 em função da idade (I), tem-se:

Como:

Então, podemos isolar os termos que possuem a idade (I) e a expressão anterior fica assim redefinida:

Substituindo a expressão 5 em 4 e rearranjando a expressão 4, tem-se:

Rearranjando a expressão 7 de forma que os termos referentes à área basal (B) fiquem do lado esquerdo e os termos referentes à idade (I) fiquem do lado direito, obtém-se:

Integrando-se o lado esquerdo da expressão 8 em um intervalo de B₁ até B₂ e o lado direito em um intervalo de I₁ até I₂, tem-se:

Fazendo:

Tem-se a resolução das integrais do lado esquerdo e do lado direito da expressão 9:

Igualando-se as expressões 10 e 11, encontra-se a seguinte expressão de projeção em área basal:

Multiplicando-se os dois lados da igualdade por -1, tem-se:

Aplicando-se o anti-logaritmo na expressão 13, resulta em:

Rearranjando a expressão 14, obtém-se a expressão final de projeção em área basal, dada por:

Considerando I₁ como idade corrente, então a expressão 1 pode ser reescrita para fornecer as estimativas do volume corrente, como:

Analogamente, o volume futuro (V₂) será estimado por:

onde a projeção da área basal futura (B₂) pode ser estimada pela expressão 15.

Desta forma, após este processo demonstrativo, fica assim definido o modelo de Clutter:

2. Definição da expressão da Idade Técnica de Colheita (ITC)

A Idade Técnica de Colheita (ITC) ocorre onde a curva do incremento médio anual (IMA) se igual a curva do incremento corrente anual (ICA).

Para a definição da expressão da ITC do modelo de Clutter, sejam as expressão 3 e 7 descritas anteriormente, as quais são, respectivamente:

Rearranjando a expressão 3 e substituindo 7 em 3, obtém-se:

A expressão do incremento médio anual (IMA), é dada por:

Igualando as expressões 18 e 19, tem-se:

Simplificando os volumes dos dois lados da igualdade e desenvolvendo a expressão 20, encontra-se:

Multiplicando os dois lados da igualdade da expressão anterior por I, obtém-se:

Isolando I na expressão acima, encontra-se a expressão da ITC, a qual é:

onde se verifica que a idade técnica de colheita é inversamente proporcional à densidade populacional e capacidade produtiva do local.

3. Ajustes das equações

O modelo de Clutter (1963) é composto por um sistema de duas equações:

Como a variável dependente LnB₂ na equação que projeta a área basal é uma variável independente na equação que projeta a produção volumétrica é conveniente ajustar as equações considerando um sistema de equações simultâneas, por meio do Método dos Mínimos Quadrados em 2 Estágios (GUJARATI e PORTER, 2008).

A obtenção das estimativas dos coeficientes das equações referentes ao modelo de Clutter (1963) podem ser obtidas por meio de softwares como: R, Stata, Eviews ou por outros softwares de estatística

Considerando um banco de dados provenientes de medições sucessivas de parcelas permanentes onde se tem a idade das árvores (I) e as estimativas de volume por hectare (V), área basal por hectare (B) e índice de local (S), este deve ser modificado para o ajuste das equações do modelo, conforme exemplo abaixo:

Em seguida, variáveis devem ser criadas para o ajuste. Desta forma, o arquivo final deverá ter o seguinte formato:

em que: x1 = lnB₁.(I₁/I₂); x2 = (1- I₁/I₂); x3 = (1- I₁/I₂).S; invI2 = inverso da idade 2.

Cabe destacar que, antes do ajuste, deve-se fazer uma análise de consistência dos dados. Para isso, alguns critérios podem ser verificados, entre eles: I2 > I1; V2 > V1 e B2 > B1.

Caso não seja possível ajustar as equações do modelo de Clutter por meio de um software que possua um pacote de ajuste de equações simultâneas, pode-se utilizar uma forma alternativa e correta para chegar no mesmo resultado. Neste caso, deve-se seguir os seguintes passos:

1) Primeiro, ajustar uma equação do tipo:

onde todas as variáveis independentes são denominadas de variáveis instrumentais.

2) Com a equação ajustada no passo 1, voltar ao banco de dados e estimar o LnB₂ para todas as parcelas.

3) Em seguida, ajustar a equação de projeção do volume (LnV₂) com as variáveis: inverso da idade 2, índice de local e logaritmo da área basal futura estimada (passo2):

Esta equação é a equação final para projetar o volume por hectare.

4) Finalmente, ajustar a equação de projeção de área basal:

Neste caso, pode-se utilizar a técnica de regressão não linear para encontrar as estimativas dos parâmetros ou rearranjar o modelo para possibilitar o ajuste por meio de regressão linear. No entanto, deve-se dar prioridade à primeira forma de ajuste.

O script para o ajuste do modelo de Clutter (1963), no software R, considerando a alternativa apresentada nos passos descritos anteriormente, pode ser acessado clicando aqui.

4. Tabela de produção de densidade variável

Sejam as seguintes equações ajustadas, referentes ao modelo de Clutter:

Assim sendo, pode-se elaborar uma tabela de produção de densidade variável para mostrar as estimativas das projeções de áreas basais (B) e volumes por hectare (V), em diferentes idades e capacidades produtivas, bem como os incrementos médios anuais (IMA`s), para definir as Idades Técnicas de Colheita (ITC`s).

Cabe destacar que os valores das áreas basais (B_i) na primeira idade (42 meses neste exemplo) devem ser coerentes com a classe de produtividade, para propiciar estimativas coerentes dos volumes por hectare. Para isso, tem-se duas alternativas para defini-las:

1) utilizar a média das áreas basais por hectare na primeira idade, dentro de cada classe de produtividade; ou

2) ir ao banco de dados utilizados para ajustar o modelo de Clutter, selecionar os dados na idade inicial que se deseja e ajustar uma equação do tipo: B_i = β₀+ β₁/S. Com esta equação, substitui-se o valor do índice de local (S) para obter o valor esperado da área basal (B_i) na idade inicial.

5. Simulação de desbastes

Como mostrado anteriormente, pode-se utilizar o modelo de Clutter para projetar a produção em área basal e volume ao longo do tempo. Desta forma, pode-se, também, simular desbastes, reduzindo a área basal a um dado valor e verificando o comportamento do crescimento do povoamento ao longo do tempo.

Por exemplo, seja a tabela abaixo onde foram simulados 2 desbaste, tendo como critério para definição da época de sua realização, a idade onde ocorresse o máximo incremento médio anual (IMA).

De acordo com as projeções antes do desbaste, o máximo IMA ocorreu aos 54 meses de idade, quando a área basal estimada era 19,84 m²/ha. Nesta idade (idade técnica de corte) a área basal por hectare foi reduzida (desbaste) a um valor de 10 m²/ha e o crescimento da floresta foi projetado novamente, tendo um máximo IMA agora aos 96 meses de idade. Um segundo desbaste foi realizado nesta idade, reduzindo-se novamente a área basal a um valor de 10 m²/ha, e o crescimento da floresta foi projetado novamente, ocorrendo um máximo IMA aos 150 meses.

Graficamente, tem-se o seguinte comportamento da curva de produção, antes e depois dos desbastes:

Desta forma, percebe-se que o modelo permite simular diferentes intensidades e números de desbastes, possibilitando ao manejador, selecionar a alternativa de manejo que atenda aos objetivos definidos.

6. Referência bibliográfcia

CLUTTER, J. L. Compatible growth and yield for loblolly pine. Forest Science, v.9, n.3, p.354-371, 1963.

GUJARATI, D. N.; PORTER, D.C. Basic econometrics. 5.ed. McGraw-Hill Education. 2008. 944p.

SCHUMACHER, F.X. A new growth curve and its application to timber studies. Journal of Forestry, v.37, p.819‑820, 1939.