Noções sobre algumas distribuições estatísticas
1. Introdução
Estatística pode ser definida como ferramenta de análise e interpretação de dados (de variáveis).
Na Ciência Florestal, em suas diversas áreas (manejo, silvicultura, tecnologia da madeira e ambiência), as variáveis podem ser um atributo, uma característica, uma quantidade, por exemplo, referente a uma árvore ou à madeira ou ao terreno onde uma floresta se desenvolve.
As variáveis podem ser classificadas em quantitativas, como diâmetros, alturas e volumes das árvores, e qualitativas, como classes de qualidade da madeira, classe de tortuosidade do fuste das árvores, entre outros.
Se possuirem probabilidades associadas a sua ocorrência, as variáveis podem ser definidas como variáveis aleatórias. Desta forma, elas podem ser classificadas como variáveis aleatórias contínuas, se assumem todo e qualquer valor dentro de um intervalo definido (ex. diâmetros, alturas, ...), ou variáveis aleatórias discretas, se assumem somente alguns valores dentro de um intervalo (ex. número de galhos de uma árvore).
A distribuição das probabilidades associadas aos valores de uma variável aleatória contínua pode ser definida por uma função densidade de probabilidades (f.d.p’s) ou por uma função de probabilidade (f.p.’s), no caso de variáveis aleatórias discretas. Entre as f.d.p.’s frequentemente utilizadas na Ciência Florestal, tem-se: a Exponencial, a Weibull, a Beta, a Gama, a “t” de Student e a Normal. Entre as f.p.’s, a Binomial e Poisson.
2. Distribuição estatística de variáveis aleatórias contínuas
2.1. Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
O comportamento gráfico da distribuição das probabilidades em relação aos valores de x é:
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Probabilidade é a área sob a curva de probabilidades. Assim, integrando-se a função (f.d.p.) entre intervalos definidos, obtém-se a função de distribuição acumulada (f.d.a.), dada por:
O comportamento gráfico da distribuição acumulada das probabilidades em relação aos valores de x é:
Exemplo:
Para um λ igual a 0,5 (taxa de descréscimo das probabilidades). Assim, a probabilidade acumulada até um valor de x igual a 2 é:
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Suponha que F(2) é a probabilidade acumulada até a segunda classe de diâmetro em uma distribuição diamétrica de uma floresta natural com 10.000 árvores. Desta forma, o número de árvores acumulado até a segunda classe seria:
N = 0,6321 x 10.000 = 6.321 árvores
Se deseja-se saber quantas árvores existem na segunda classe N(2), basta calcular a probabilidade acumulada até a primeira classe F(1), diminuir esta estimativa da probabilidade acumulada até a segunda classe F(2) e multiplicar por 10.000 (número total de árvores). Assim, tem-se:
ou seja, na segunda classe tem-se um total de 2.686 árvores.
2.2. Função Weibull
A função densidade de probabilidade Weibull (f.d.p.) com três parâmetros é dada por:
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Sendo α (alfa) denominado de parâmetro de posição, pois controla a posição da curva sobre o eixo das abscissas; β (beta) o parâmetro de escala, uma vez que controla as dimensões que a curva assume, dada uma forma constante; e ϒ (gama) o parâmetro de forma, por controlar as diferentes formas que a distribuição pode assumir, tornando-a uma função muito flexível.
A função densidade acumulada (f.d.a.) é dada por:
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Por exemplo, considerando que as estimativas dos parâmetros da função Weibull (f.d.a.) são: α=4,0; β=13,962715; γ=2,614441, e que x seja o limite superior da classe de diâmetro, neste caso, igual a 16cm, a probabilidade acumulada até esta classe de diâmetro será:
Considerando um total de árvores igual a 892 árvores em todas as classes de diâmetro, o número de árvores acumulado até esta classe será:
N = 0,489812 x 892 = 436,91 árvores
Para estimar o número de árvores na classe de diâmetro cujo limite superior é igual a 16cm N(16), suponha que o limite superior da classe de diâmetro anterior seja igual a 14cm. Assim, sendo calcula-se a probabilidade acumulada até 14cm, diminui-se esta estimativa da probabilidade acumulada até 16cm e multiplica-se por 892. Desta forma, tem-se:
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3. Distribuição estatística de variáveis aleatórias discretas
3.1. Distribuição Binomial
É a distribuição de probabilidades do número de sucessos em uma sequência de n tentativas, onde cada tentativa (independente) tem como resultado duas possibilidades - binômio - (sucesso ou fracasso).
Sua função de probabilidade é dada por:
em que
p = probabilidade de sucesso;
n = número de ensaios ou tentativas;
X = k = número de sucessos.
Exemplo:
Há uma probabilidade de encontrar uma árvore com tronco defeituoso em uma floresta (sucesso) igual a 30% (p=0,3). Amostrando-se aleatoriamente 6 árvores em uma floresta, qual a probabilidade de se obter: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 árvores (k = 1 ... 6) com tronco defeituoso, assumindo uma distribuição binomial?
Para X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, as probabilidades seriam, aproximadamente: 0,303; 0,324; 0,185; 0,060; 0,010 e 0,001.
3.2. Distribuição de Poisson
Também conhecida como distribuição para caracterizar eventos raros, a função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
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tal que
λ = valor esperado (ou médio);
X = k = número de sucessos.
Exemplo:
Em um procedimento de inventário florestal foram avaliadas 100 unidades de amostra (ou parcela) e encontrados 44 indivíduos de uma determinada espécie florestal (valor esperado ou médio (λ) igual a 0,44 indivíduos por parcela).
Pelas estimativas do total de individuos amostrados e média, observa-se que nem todas as parcelas possuem individuos amostrados, indicando a “raridade” da espécie na floresta. Ainda, naquelas parcelas onde ela foi amostrada, o número de indivíduos encontrados vai depender do nível de agregação dos individuos da referida espécie.
Sabendo que a distribuição do número de indivíduos por parcela segue a distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de encontrar 0, 1, 2, 3 e 4 indivíduos em uma parcela?
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