Falta de ajustamento

ESPECIFICAÇÃO DO MODELO

Após o ajuste de uma equação, referente a um determinado modelo, é possível avaliar a adequação do referido modelo à distribuição dos dados. Para isso, torna-se necessário que para cada valor da variável X (independente), tenhamos valores da variável Y (dependente).

 Desta forma, espera-se que, para os valores de X, a curva ajustada passe pelo centro da distribuição dos valores de Y, caso o modelo seja adequado, conforme figura a seguir:

Como a curva passa pelo centro da distribuição dos dados de cada X, que possuem distribuição normal, então: 

Explicando: Se Y ~ N(μ;σ²), então , que será igual a, ou seja, .

O erro na estimativa (e) será a distância entre o valor observado de Y e o valor estimado pela equação, ou seja,   

No entanto, se uma equação não passa entre os valores de Y, conforme a figura a seguir, então a: 

Assim sendo, o erro (ou resíduo) será dado por:

Traduzindo: o erro será a distância do valor deaté o valor médio de Y mais a distância entre o valor médio de Y até o valor estimado de Y.

Como a equação não passa pela média, então  Desta forma: 

Se  não haveria falta de ajustamento e o erro seria apenas o erro puro.

Estimativa do erro puro e da falta de ajustamento:

Por meio da análise de variância (ANOVA) da regressão é possível decompor a soma de quadrado e graus de liberdade dos resíduos em duas partes: erro puro e falta de ajustamento.

Exemplo:

Sejam as alturas de 15 árvores (n=15) e seus respectivos diâmetros, bem como as estimativas das médias das alturas nas respectivas classes de diâmetro (m=5).

Ajuste da equação sem considerar a falta de ajustamento

Com os dados de alturas (Y) e diâmetros (X), ajustou-se uma equação, referente a um modelo linear simples, obtendo-se as seguintes estimativas dos parâmetros, pelo método dos mínimos quadrados ordinários:

Após o ajuste, as alturas estimadas foram:

Procedendo-se a análise de variância da regressão, tem-se:

ANOVA

Regra de decisão:

F(5%; 1 e 13gl) = 4,67 

F_calc> F_tab =>  Rejeita-se H_o, pelo teste F, a 5% de significância, isto é, pelo menos um dos β`s é diferente de zero.

Calculando as somas de quadrado em uma planilha:

As medidas de precisão da equação ajustada, foram:

Considerando a falta de ajustamento

Desdobrando a soma de quadrados dos resíduos em erro puro e falta de ajustamento, com seus respectivos graus de liberdade, a ANOVA fica assim redefinida:

Em que:

Calculando as somas de quadrado por meio de uma planilha:

Regra de decisão (Regressão):

F(5%; 1 e 10gl) = 4,965  

F_calc> F_tab => rejeita-se a hipótese Ho, ou seja, pelo menos um dos betas é diferente de zero, pelo teste F, a 5% de significância.

Regra de decisão (Falta de ajustamento):

H_o:. o modelo não apresenta falta de ajustamento

H_a:. o modelo apresenta falta de ajustamento (não se apresenta adequado à distribuição dos dados)

F(5%; 3 e 10gl) = 3,708

F_calc> F_tab => rejeita-se a hipótese H_o, pelo teste F, a 5% de significância. O modelo apresenta falta de ajustamento, isto é, o modelo não é adequado para descrer o comportamento das alturas das árvores (Y) em relação a seus diâmetros (X).

Mas porque o modelo é inadequado? Analisando a figura abaixo observa-se que as alturas das árvores (Y) aumentam com os diâmetros (X), atingindo um valor assintótico e o modelo ajustado é uma reta!