Livro Dendrometria e Inventário Florestal

Carlos Pedro Boechat Soares; Francisco de Paula Neto; Agostinho Lopes de Souza

VOLUMETRIA

1. Preliminares

Na execução de inventários florestais, torna-se necessário definir a priori a unidade de medida em que o volume será expresso, bem como as referências para a obtenção dos volumes, ou seja, os diâmetros mínimos de inclusão das árvores, e quais as partes destas serão incluídas nas estimativas de volume.

Na maioria dos casos, apenas o volume acima do nível do solo é considerado. Normalmente, leva-se em conta a estimativa do volume acima da altura do toco da árvore, que segundo Loetsch et al. (1973), na Europa e nos EUA, varia entre 0,1 m e 0,5 m. Em florestas tropicais naturais, a altura do toco é freqüentemente mais alta, devido a deformidades no fuste das árvores.

2. Volumes em uma árvore

Uma vez que se podem determinar diferentes volumes em uma árvore, é necessário definir os seus componentes, a exemplo daqueles apresentados na Figura 4.1.

Figura 4.1 - Diferentes componentes de uma árvore.

A classificação apresentada pode definir diferentes tipos de volume, entre eles:

0+1+2+3+4 = volume total da árvore;

1+2+3+4 = volume do fuste mais o total de galhos;

1+2 = volume comercial da árvore;

1+3 = volume total do fuste;

2+4 = volume total de galhos; e

3+4 = volume não-comercial da árvore.

Os referidos volumes podem ser expressos com ou sem casca, dependendo do uso da madeira.

Em espécies que apresentam algum impedimento quanto à utilização dos galhos para fins comerciais, o volume comercial da árvore será definido apenas pelo volume do fuste comercial (classe 1) e não pelas classes 1+2. Em algumas situações, além de o volume comercial se referir a apenas parte do fuste da árvore, há a necessidade de excluir o volume de casca para se obter uma correta definição do volume de madeira comercial, a exemplo de quando a madeira é destinada à produção de celulose, cujo processo de fabricação não envolve a casca.

3. Formas dos fustes

Antes de iniciar as considerações sobre a obtenção dos volumes dos fustes das árvores, há a necessidade de tecer alguns comentários e considerações sobre as formas que os fustes podem assumir, uma vez que os dois assuntos estão intimamente correlacionados.

Seria muito desejável que os fustes das árvores possuíssem forma cilíndrica, pois o seu volume poderia ser obtido por:

em que: V = volume do fuste; d = diâmetro em um ponto qualquer do fuste; e L = comprimento do fuste.

Os fustes, no entanto, podem assumir diferentes formas, assemelhando-se à de três sólidos revolução ou a um cilindro.

Embora um dos sólidos possa ser utilizado para descrever o perfil do fuste de uma árvore, os quatro citados podem estar presentes ao mesmo tempo.

Entre os principais fatores que afetam a forma do fuste das árvores, fazendo com que se assemelhem aos sólidos descritos anteriormente, tem-se:

* Espécie: a forma do fuste das árvores varia de espécie para espécie, principalmente devido à taxa de crescimento e a características genéticas.

* Idade: a conicidade do fuste das árvores tende a ser menor em árvores mais velhas.

* Espaçamento: em povoamentos com espaçamento entre árvores mais reduzido, os fustes tendem a ser menos cônicos.

* Qualidade do local: em locais “piores”, os fustes apresentam crescimento mais irregular e, conseqüentemente, são mais irregulares.

4. Determinação do volume do fuste

Haja vista que o fuste de uma árvore não é um cilindro perfeito, possuindo diferentes formas, existem alguns procedimentos para a determinação do seu volume. Cabe mencionar que alguns dos procedimentos descritos a seguir também podem ser utilizados para a determinação do volume de outras partes das árvores como galhos e raízes.

a) Princípio do xilômetro

O xilômetro (Figura 4.2) é um recipiente com água, no qual as toras de madeira são colocadas e o volume de água deslocado, igual ao volume das toras, é medido com uma régua graduada.

Figura 4.2 - Representação esquemática de um xilômetro.

O xilômetro deve ser utilizado preferencialmente em toras menores e em pequena escala operacional, tendo em vista o gasto excessivo de tempo para a realização das operações de manuseio das toras. Além disso, a água deve ser trocada ou filtrada quando se turvar, para não propiciar estimativas de volume incorretas, por causa de mudança de sua densidade e de acúmulo de sedimentos no fundo do xilômetro.

b) Cubagem rigorosa

A partir do estudo da forma das árvores, algumas expressões matemáticas foram desenvolvidas para a determinação do volume com ou sem casca do fuste das árvores, entre elas (HUSCH et al., 2003):

1) Huber

em que: V = volume com ou sem casca da seção, em m³; AS_1/2 = área seccional com ou sem casca, obtida na metade do comprimento da seção, em m²; e L = comprimento da seção, em m.

2) Smalian

em que: AS₁ e AS₂ = áreas seccionais com ou sem casca, obtidas nas extremidades da seção, em m².

3) Newton

As expressões de Huber, Smalian e Newton fornecem estimativas do volume de seções individuais do fuste da árvore. O volume total com ou sem casca de um fuste pode ser obtido pelo somatório dos volumes (V_i) das n seções do fuste, ou seja:

As três expressões propiciam estimativas volumétricas diferentes. No entanto, quanto menor o comprimento da seção, menor a diferença entre as estimativas. Normalmente, o comprimento das seções varia entre 1,0 e 2,0 m em fustes bem retilíneos, e a expressão mais utilizada é a de Smalian, devido à facilidade dos cálculos e à operacionalidade na obtenção dos dados.

Como mencionado, a cubagem rigorosa pode propiciar estimativas precisas do volume do fuste com e sem casca. Dessa forma, o volume de casca será definido pela diferença entre os volumes com e sem casca do fuste das árvores. A porcentagem de casca, por sua vez, pode ser calculada por:

em que: Vc/c = volume com casca; e Vs/c = volume sem casca.

Exemplo:

Para exemplificar o uso das expressões de Huber, Smalian e Newton, seja a seguinte tora de madeira, cujos diâmetros com casca foram medidos em diferentes pontos. Assim, os volumes com casca, obtidos pelas três expressões serão:

* Smalian

- Seção 1

- Seção 2

Volume com casca da tora = 0,1498 + 0,1006 = 0,2504 m³

*Huber

- Seção 1

- Seção 2

Volume com casca da tora = 0,1540 + 0,1083 = 0,2625 m³

*Newton

- Seção 1

- Seção 2

Volume com casca da tora = 0,1526 + 0,1059 = 0,2585 m³

Observação: Os volumes das árvores devem ser expressos com pelo menos quatro casas decimais.

c) Volume Frankon (ou 4º reduzido)

Embora seja possível obter o volume de partes do fuste de uma árvore pela aplicação de expressões matemáticas ou pela utilização do xilômetro, normalmente são utilizadas expressões diversas para a obtenção do volume em transações comerciais de madeira. Nesse contexto, destaca-se a expressão para a determinação do volume Frankon (ou 4^o reduzido), dado por:

em que: V = volume Frankon com ou sem casca, em m³; C = circunferência com ou sem casca na metade do comprimento da tora, em m; e L = comprimento da tora, em m.

Exemplo:

O volume Frankon de uma tora com 5 m de comprimento e 50 cm de diâmetro com casca na metade do seu comprimento será:

5. Estimação do volume do fuste

5.1. Fator de forma

O volume real do fuste de uma árvore pode ser considerado uma porcentagem do volume de um cilindro, definido pelo DAP e pela altura total ou comercial das árvores (Ht ou Hc). A figura a seguir exemplifica essa relação.

Essa relação entre os volumes define o chamado fator de forma (f), expresso por:

De acordo com a expressão anterior, o volume de uma árvore (real), com ou sem casca, pode ser estimado multiplicando-se o volume do cilindro, definido pelo DAP e pela altura da árvore, por um fator de forma médio () com ou sem casca, apropriado para a espécie.

Observações importantes:

* Normalmente se utiliza a altura total das árvores (Ht) para a geração de fatores de forma por facilidade de medição, exceto em matas nativas, onde a altura comercial (Hc) é mais fácil de obter.

* Sempre utilizar a altura correspondente àquela que gerou o fator, ou seja, se o fator foi gerado utilizando a altura total, o volume do cilindro deve ser obtido com essa altura.

* Verificar se o fator se refere a um fator de forma com casca ou a um fator de forma sem casca.

Exemplo:

Considerando um fator de forma médio com casca igual a 0,47, o volume com casca de uma árvore com 50 cm de DAP e 30 m é:

5.2. Quociente de forma

O decréscimo natural do diâmetro ao longo do fuste define o chamado quociente de forma, que é uma razão entre diâmetros. Como exemplo de quociente de forma, tem-se o quociente de forma de Schiffel, dado por:

em que: D_1/2H = diâmetro medido na metade da altura total da árvore.

Semelhantemente ao fator de forma, o volume de uma árvore, com ou sem casca, pode ser obtido multiplicando-se o volume de um cilindro pelo quociente de forma médio (), apropriado para a espécie e para o volume que se deseja estimar.

5.3. Modelos volumétricos

Como definido anteriormente para o fator de forma, o volume do fuste das árvores pode ser expresso como uma porcentagem do volume de um cilindro. Assim, o volume do fuste de uma árvore pode ser obtido por:

Considerando que a expressão é uma constante, denominada aqui genericamente por β₀, pode-se escrever a expressão anterior como:

em que o volume de uma árvore é em função do DAP e de sua altura total.

No entanto, como o volume não é função apenas do diâmetro e da altura da árvore, ou seja, existem outras variáveis correlacionadas com o volume e que não estão sendo consideradas, o termo (erro aleatório) deve ser adicionado à expressão, definindo o modelo de regressão, denominado modelo volumétrico da variável combinada, assim representado:

O modelo volumétrico da variável combinada apresenta-se muito rígido, assumindo que o DAP esteja elevado ao quadrado e a altura total das árvores elevada a 1. Assumindo que as variáveis DAP e Ht estejam associadas aos parâmetros β₁ e β₂, os quais podem assumir diferentes valores em função dos dados amostrais, o modelo anterior fica assim definido:

Esse modelo é conhecido mundialmente como o modelo volumétrico de Schumacher e Hall, desenvolvido em 1933.

Para facilitar o ajuste e corrigir problemas estatísticos relacionados às pressuposições básicas da regressão, como a normalidade dos erros e a heterocedasticidade da variância, o modelo de Schumacher & Hall normalmente é ajustado na sua forma linear, cuja forma funcional é dada por:

Além dos modelos da variável combinada e de Schumacher e Hall, existem outros (CAMPOS e LEITE, 2009), como mostrado a seguir:

5.3.1. Ajuste de equações volumétricas

Os dados necessários para o ajuste de uma equação volumétrica vêm da cubagem rigorosa, ou seja, medições de DAP e altura e dados de volumes (com ou sem casca). As árvores selecionadas para a cubagem rigorosa devem representar a distribuição diamétrica da floresta, abrangendo todas as classes de DAP. Além disso, deve-se cubar um número de árvores suficiente para caracterizar a variância dos volumes dentro de cada classe diamétrica. Como critério prático, normalmente são cubadas rigorosamente de cinco a sete árvores por classe de diâmetro.

O ajuste de um modelo linear pode ser realizado utilizando-se regressão linear, através do Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), por meio do seguinte sistema de equações normais (DRAPER e SMITH, 1981):

Especificamente para o modelo de Schumacher e Hall, na sua forma linear, as matrizes e vetores do sistema de equações normais são assim definidos:

em que: n = número de observações (árvores); X₁ = logaritmo do DAP; X₂ = logaritmo da altura total (Ht); e Y = logaritmo do volume.

Análise de Variância (ANOVA):

Após o ajuste de uma equação volumétrica, deve-se proceder à análise de variância da regressão. Os elementos que compõem o quadro da análise de variância da regressão (ANOVA) e os respectivos estimadores são apresentados a seguir:

em que: p = número de variáveis independentes do modelo e

O teste “F” da análise de variância (ANOVA) testa as seguintes hipóteses:

H₀ = β₀ = β₁ = ... β_n = 0

H_a = Pelo menos um dos parâmetros é diferente de zero.

Em termos práticos, se F calculado > F tabelado, a regressão existe; do contrário, para qualquer valor de X (variável independente), o correspondente valor de Y será igual à média de Y (variável dependente).

Teste "t" para os parâmetros:

Embora o teste “F” possa indicar que a regressão existe, ele não garante que todas as variáveis são estatisticamente significativas a um dado nível de probabilidade. Nesse caso, há a necessidade de se efetuar o teste “t” (Student) para os parâmetros separadamente, através da seguinte estatística:

cujas hipóteses a serem testadas são:

Ho:. β_i = 0

Ha:. β_i ≠ 0

em que β_i são as estimativas dos parâmetros e , as variâncias dos respectivos parâmetros, obtidas pela multiplicação do quadrado médio do resíduo, da análise de variância (ANOVA), pela matriz (X’X)^-1 e representadas pela diagonal principal da matriz resultante da multiplicação.

Se “t” calculado > “t” tabelado, rejeita-se Ho. Então, se β_i é estatisticamente diferente de zero, a variável deve permanecer na equação.

Se algum parâmetro for estatisticamente igual a zero, teoricamente a variável deveria ser retirada da equação e uma nova equação deveria ser ajustada sem ela. Contudo, se a variável for não-significativa, porém possuir significado (realismo) biológico ou tiver caráter explicativo muito forte para o fenômeno, ela deverá permanecer.

Medidas de precisão:

Uma vez procedido o teste “F” e o teste “t” para os parâmetros e feitas as devidas análises, deve-se proceder também ao cálculo das medidas de precisão da equação ajustada:

a) Coeficiente de Determinação (R²): informa a porcentagem da variação dos dados observados em torno da média que está sendo explicada pela equação ajustada. É calculado por:

Quanto mais próximo de 100, maior a precisão da equação.

b) Erro-Padrão da Estimativa (S_y.x): de forma bem didática, esta medida de precisão indica o erro médio associado ao uso da equação.

Quanto menor o valor do erro-padrão da estimativa, menor o erro associado ao uso da equação.

Análise gráfica dos resíduos:

Embora as medidas apresentadas anteriormente indiquem a precisão do modelo, uma análise complementar deve ser feita através dos resíduos, obtidos pela diferença entre os valores observados da variável dependente (volume) e os valores estimados pela equação. A análise dos resíduos permite inferir sobre a existência de problemas de heterocedasticidade de variância, mesmo que a equação seja precisa.

O comportamento desejável de um gráfico de resíduo é aquele em que os resíduos se apresentam uniformemente distribuídos, independentemente do tamanho da árvore e próximos de zero. A Figura 4.3 ilustra graficamente esse comportamento.

Figura 4.3 - Distribuição desejável dos resíduos em função do DAP das árvores.

5.3.2. Equações para formações florestais de Minas Gerais e outros estados

Equações de volume foram ajustadas pela Fundação Centro Tecnológico de Minas Gerais (CETEC), em 1995, para o Estado de Minas Gerais e outros estados.

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5.4. Taper e múltiplos volumes

Outras alternativas para estimar o volume do fuste das árvores são os modelos de taper – os quais descrevem o afilamento natural do fuste da árvore – e os modelos de múltiplos volumes, que permitem a estimação de volumes de partes do fuste das árvores para diversos usos.

5.4.1. Modelos de taper

A literatura apresenta diversos modelos de taper. Entre os mais empregados, têm-se:

a) Modelo de Kozak et al. (1969):

em que: d = diâmetro com casca ou sem casca em uma altura qualquer (h), em cm; DAP = diâmetro com casca medido a 1,30 m do solo, em cm; h = altura em que ocorre determinado diâmetro d, em metros; Ht = altura total, em m; ß₀, ß₁ e ß₂ = parâmetros do modelo; e = erro aleatório.

b) Modelo de Demaerschalk (1972):

em que: L = Ht – h, corresponde à distância do topo da árvore até um ponto qualquer no fuste, em metros.

Além dos modelos descritos anteriormente, destacam-se ainda os seguintes modelos (VAN LAAR e AKÇA, 2007; CAMPOS e LEITE, 2009):

1) Modelo de Ormerod:

2) Modelo de Biging:

3) Modelo de Garay:

Para obter o volume de determinada parte do fuste ou até mesmo o volume total do fuste, há a necessidade de integrar as funções de taper entre os limites de altura que se deseja, ou seja:

em que: h₁ = limite inferior de altura, acima da qual se deseja estimar o volume do fuste, em m; h₂ = limite superior de altura, abaixo do qual se deseja estimar o volume do fuste, em m; e d = diâmetro comercial que define o volume a ser estimado, em cm.

Considerando o modelo de Kozak et al. (1969), tem-se a seguinte expressão para o volume:

EXEMPLO:

Como exemplo de utilização do modelo de Kozak, considere a seguinte equação:

Assim sendo, pergunta-se:

a) Para uma árvore com altura total (Ht) igual a 27,0 m e DAP igual a 25,0 cm, qual o diâmetro com casca do fuste (d) a 19,0 m de altura (h)?

Isolando d da equação acima, tem-se:

b) Para uma árvore com altura total (Ht) igual a 27,0 m e DAP igual a 25,0 cm, a que altura (h) ocorre um diâmetro (d) igual a 6,0 cm?

Isolando o termo h, obtém-se:

c) Considerando a altura obtida no item b, qual o volume com casca até o diâmetro (d) de 6,0cm?

5.4.2. Modelo de múltiplos volumes

Este tipo de modelo foi desenvolvido mais recentemente. Entre eles, destaca-se o modelo desenvolvido por Leite et al. (1995), cuja forma funcional é:

em que: TX é uma variável binária, assumindo valores 0 e 1. Se TX = 0, a equação fornece o volume com casca; se TX = 1, ela fornece o volume sem casca.

Se d = 0, a equação ajustada fornece o volume total. Se “d” assumir qualquer outro valor, a equação fornece o volume até o diâmetro estipulado. Dessa forma, em vez de ajustar uma equação para cada volume desejado, pode-se utilizar apenas uma equação para estimá-lo.

O modelo apresentado é um modelo não-linear devido à não-aditividade de seus parâmetros. Assim, há a necessidade de ajustá-lo através de um processo iterativo, por meio de programas computacionais específicos.

EXEMPLO:

Para exemplificar o uso de uma equação de múltiplos volume, considere a seguinte equação ajustada:

Assim sendo, o volume com casca e sem casca até um diâmetro (d) igual a 6 cm, para uma árvore que possui DAP igual a 25,0 cm e altura total igual a 30,0 m, bem como o percentual de casca será:

6. Exercício

Ajuste uma equação de volume referente ao modelo de Shumacher e Hall linearizado e analise a precisão da equação ajustada. Para isso, considere os dados de cubagem rigorosa de 12 árvores de eucalipto, em que se obtiveram o volume total com casca (Vc/c), a altura total (Ht) e o DAP de cada árvore.

AJUSTE:

Antes de se proceder ao ajuste da equação de volume, alguns pontos devem ser ressaltados para um ajuste correto:

* Não transforme os DAPs em metros ou a altura em centímetros para ajustar a equação. Os dados devem ser utilizados como são obtidos no campo.

* Realize as transformações logarítmicas das variáveis. Ao aplicar o logaritmo neperiano, deixar pelo menos oito casas digitais depois da vírgula.

* Crie todas as variáveis presentes nas matrizes do sistema de equações normais , para obtenção dos referidos somatórios.

Observados esses pontos, as matrizes do sistema de equações, para o modelo de Schumacher e Hall, ficam assim definidas:

Invertendo a matriz (X’ X), obtém-se a seguinte matriz (X’ X)^-1:

Procedendo à multiplicação de (X’ X)^-1 pelo vetor X’ Y, obtiveram-se as seguintes estimativas para os parâmetros do modelo:

Dessa forma, a equação volumétrica ficou assim definida:

ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA):

De posse da equação ajustada, procedeu-se à análise de variância ANOVA, cujo quadro-resumo é o seguinte:

em que:

Como “F” calculado > “F” tabelado (916,54 > 4,26), então rejeita-se Ho, ou seja, pelo menos um dos parâmetros é estatisticamente diferente de zero.

Assim, efetua-se o teste “t” para cada parâmetro separadamente, como se segue:

TESTE "t" PARA OS PARÂMETROS

* Teste “t” para β₀

Conclusão: / “t” / calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, β₀, é dieferente de zero, pelo teste "t", a 5% de significância.

* Teste “t” para β₁

Conclusão: / “t” / calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, β₁, é dieferente de zero, pelo teste "t", a 5% de significância.

* Teste “t” para β₂

Conclusão: / “t” / calculado > “t” tabelado => rejeita-se Ho, ou seja, β₂, é dieferente de zero, pelo teste "t", a 5% de significância.

MEDIDAS DE PRECISÃO:

Como todos os parâmetros foram estatisticamente diferentes de zero, a 95% de probabilidade, então foram calculadas as medidas de precisão da equação:

a) Coeficiente de Determinação (R²)

Interpretação: 99,51% da variação dos volumes em torno da sua média são explicados pela equação ajustada.

b) Erro-padrão das estimativa (S_y.x)

Interpretação: o erro médio associado ao uso da equação é de ± 0,08219 Ln(m³).

Exemplo:

O volume com casca de uma árvore com DAP igual a 30,0cm e altura total (Ht) igual a 27,0m, com a equação ajustada anteriormente, será:

LnVc/c = –9,59071 + 1,74828 Ln(30) + 1,0289 Ln(27)

LnVc/c =-0,25337809

Vc/c = exp(-0,25337809)=0,7762m³

7. Referências Bibliográficas

CAMPOS, J.C.C.; LEITE, H.G. Mensuração florestal: perguntas e respostas. 3^a ed. Viçosa, MG: Editora UFV, 2009. 548 p.

DEMAERSCHALK, J.P. Converting volume equations to compatible taper equations. Forest Science, v. 18, n. 3, p. 241-245, 1972.

DRAPER, N.R.; SMITH, H. Applied regression analysis. New York: John Wiley & Sons, 1981. 709 p.

HUSCH, B.; MILLER,C.I; KERSHAW, J. Forest mensuration. 4. ed. New Jersey: John Willey e Sons, Inc, 2003. 443 p.

KOZAK, A.; MUNRO, D. D.; SMITH, J. H. G. Taper functions and their application in forest inventory. The Forest Chronicle, v. 45, n. 4, p. 278-283, 1969.

LEITE, H.G.; GUIMARÃES, D.P.; CAMPOS, J.C.C. Descrição e emprego de um modelo para estimar múltiplos volumes de árvores. Revista Árvore, v. 19, n. 1, p.65-79, 1995

LOËTSCH, F.; HALLER, K.E.; ZÖHRER, F. Forest inventory. 2. ed. Munich: BLV Verlagsgesellschaft, 1973. v. 2, 469 p.

VAN LAAR, A.; AKÇA, A. Forest mensuration. Dordrecht: Springer, 2007. 383p.